||       ||       ||       ||       ||   

Inleiding
Werkwijze
Opbrengsten
Statistieken        





















































































Werkwijze

Voor de berekening heb ik de 15 dobbelstenen opgedeeld in twee groepen. In de ene groep zitten het glas, de fles en de hamer (de figuurdobbelstenen). In de andere groep zitten de 12 dobbelstenen met de getallen (de cijferdobbelstenen). Als je de kans voor het gooien van bijvoorbeeld de fles kent, moet je die vermenigvuldigen met de kans op het gooien van 6 ogen om de kans te krijgen dat je zes voor de fles gooit.

Ik ben er bij de berekeningen vanuit gegaan dat er geen verschil is tussen de verschillende witte vlakken van de dobbelstenen. Voor het oog maakt dat niks uit, ook niet voor de uitkomsten. Voor een volledige kansberekening zou dit echter wel wenselijk zijn. Het aantal mogelijke worpen van figuurdobbelstenen is gelijk aan 8. Dit zijn alle kaarten minus het huis. Maar eigenlijk zijn dat er 6^3=216. Om het aantal mogelijke worpen van de figuurdobbelsteentjes te berekenen moet je ten eerste weten hoeveel dobbelstenen je hebt, in dit geval dus 3 (de figuursteentjes). Verder moet je weten op hoeveel manieren je één van die stenen kan gooien. Een dobbelsteen heeft natuurlijk 6 vlakken, dus één dobbelsteen kan op 6 verschillende manieren gegooid worden. Elk van de drie dobbelstenen kan dus op 6 manieren gegooid worden. Je moet om het totaal aantal manieren uit te rekenen de individuele manieren met elkaar vermenigvuldigen, zo kom je dus op 6x6x6=216. Bij deze manier van berekenen ga je ervan uit dat de vijf witte vlakken van de dobbelsteen verschillend zijn. Voor het aantal te gooien ogen (de cijfersteentjes) is het totaal aantal mogelijkheden niet 4096 zoals blijkt uit bijlage VI, maar 6^2=2.176.782.336. Indien je bijvoorbeeld 7 positieve dobbelstenen (stenen die hun 'ogen vertonen') gooit en 5 blanco's, dan zijn die vijf blanco stenen ook nog eens op 5^5=3125 verschillende manieren te gooien. De 7 positieve stenen zijn natuurlijk elk slechts op een manier te gooien. In totaal, rekening houdend met het feit dat een blanco dobbelsteen op vijf verschillende manieren te gooien is, zijn er dus 6^5 = 470.184.984.576 verschillende worpen mogelijk. Maar om de berekeningen enigszins overzichtelijk te houden heb ik besloten geen rekening te houden met de verschillende witte vlakken.

De kans dat je een getal gooit (=een positieve worp) met één cijferdobbelsteen is 1/6. Je hebt namelijk 6 vlakken op een dobbelsteen waarvan er maar één positief is. De kans dat je dus niet een getal gooit (dus een "blanco" worp) met één cijferdobbelsteen is 5/6. Wat de berekening echter moeilijk maakt is dat we 2 keer de cijferdobbelstenen 1 tot en met 6 hebben (twee reeksen van 1 t/m 6). Je mag niet zomaar de kansen van één reeks met twee vermenigvuldigen om zo de kans van de twee reeksen te krijgen. Bovendien moet er rekening gehouden worden met het feit dat een bepaald aantal ogen op meerdere manieren en in verschillende combinaties gegooid kan worden.

Er zijn twee mogelijkheden om 1 oog te gooien. Er is echter maar één combinatie mogelijk. Namelijk, elf keer "blanco" (5/6 kans) en één keer 1 oog (1/6 kans) à ((1/6)^1)*((5/6)^11).

Omdat er twee dobbelstenen met één oog in het spel zitten, zijn er dus twee mogelijkheden om één oog te gooien. Dat wil zeggen dat de kans met twee vermenigvuldigd moet worden.
--> ((1/6)^ 1) * ((1/6)^ 11) * 2 De machten in de berekening staan voor het aantal cijferdobbelstenen met een bepaalde kans. Bij 1 oog zijn er dus 11 cijferdobbelstenen met een kans van 5/6 en 1 cijferdobbelsteen met een kans van 1/6. De machten moeten dus altijd optellen tot 12 (het aantal cijferdobbelstenen).

Er zijn zeven combinaties denkbaar om 6 ogen te gooien:
1.    6               (Twee zessen in het spel dus twee mogelijkheden)
2.    5+1           (Twee vijven en twee enen in het spel, dus 2*2=4 mogelijkheden)
3.    4+2           (Twee vieren en twee tweeën in het spel, dus 2*2=4 mogelijkheden)
4.    4+1+1       (Twee vieren in het spel dus 2 mogelijkheden. De enen zijn nu op,
                         dus slecht 1 mogelijkheid)
5.    3+3           (Slechts twee drieën in het spel dus 1 mogelijkheid)
6.    3+2+1       (Twee van elk getal in het spel, dus 2*2*2=8 mogelijkheden)
7.    2+2+1+1   (Slechts een mogelijkheid, want er zijn niet meer enen en tweeën)

De kans datje dus zes gooit is:
Ad 1.   ((1/6)^1) * ((5/6)^11) * 2
Ad 2.   ((1/6)^2) * ((5/6)^10) * 2* 2
Ad 3.   ((1/6)^2) * ((5/6)^10) * 2 * 2
Ad 4.   ((1/6)^3) * ((5/6)^9) * 2
Ad 5.   ((1/6)^2) * ((5/6)^10)
Ad 6.   ((1/6)^3) * ((5/6)^9) * 2 * 2 * 2
Ad 7.   ((1/6)^4) * ((5/6)^8)

Al deze kansen moet je bij elkaar optellen. Dat levert een kans van 0,094391 op. Dit is dus één op de (ongeveer) elf worpen. De uitkomsten hiervan staan in bijlage 1. De verschillende combinaties van de getallen 0 t/m 21 staan in bijlage X.

De kans op het gooien van een fles is: 1/6 * 5/6 * 5/6 (= 0,115740). Namelijk twee keer blanco en een keer fles. Deze kans is even groot als het gooien van een hamer of een glas. Voor het zooitje is de kans 1/6 * 1/6 * 1/6. Voor de dubbele kaarten is de kans dan 1/6 * 1/6 * 5/6. De uitkomsten hiervan staan in bijlage III. De kans op het gooien van een enkele kaart is dus vijf keer zo groot als de kans op een dubbele kaart, die weer vijf keer zo groot is als de kans op het zooitje. De waarde van de enkele kaarten is dus ook 5 keer zo groot als die van de dubbele kaarten etc... Dit moet dus ook blijken uit de verkoop van de kaarten aan het begin van een avond!!!

Als de kansen op het gooien van alle 43 getallen (getal 0 tot en met 42) zijn uitgerekend moeten ze optellen tot 1. Evenzo moeten de kansen voor het gooien van een glas, hamer, fles, privé en de combinatie kaarten ook optellen tot 1.

De kans op "6 voor de fles" wordt dus: (kans op fles * kans op 6 ogen)
0,0943910 * 0,115740 = 0,0109248
De totale kansberekening van alle mogelijke combinaties van het aantal ogen en de verschillende kaarten staat in bijlage V.